Estimating confidence lower bounds of Weibull lower percentiles with small samples in material reliability analysis

Weibull distribution is widely used in the modeling of mechanical properties such as tensile strength of ceramic and composite materials. The 95% one-sided confidence lower bounds on the 1st and 10th Weibull percentiles, namely A-basis and B-basis material properties, are important in reliability studies for understanding early failures and reducing risks. These lower bounds are generally estimated by small samples due to the high costs of the experiments, hence the precision of estimation remain low. Therefore, in the literature, many exact and approximate interval estimation methods for Weibull percentiles have been proposed for achieving better performance. In this study, a comprehensive comparison of the exact methods with Monte-Carlo simulations has been made. In addition, some methods developed for Weibull parameters are also included in this comparison since they can be used for exact lower bound estimation but have never used for this purpose in the literature. In the study, the lower bounds have been estimated by the maximum likelihood method, the Menon method and 25 different models of weighted/ unweighted least squares methods (such as improved estimators, interchanged axes), and average false coverage probabilities are used for the comparison criterion. According to the simulation results, the maximum likelihood and the weighted least squares method with Faucher & Tyson weight factors have very similar performances for sample sizes less than 8; and the maximum likelihood method has always shown the best performance for sample sizes greater than or equal to 20. However, it is emphasized that linear regression methods are more practical in terms of ease of calculation when performance differences are negligible.

Malzeme güvenilirlik analizinde Weibull alt yüzdeliklerinin alt güven sýnýrýnýn küçük örneklemlerle tahmini

Weibull daðýlýmý seramik ve kompozit malzemelerin kopma mukavemeti gibi mekanik özelliklerinin modellenmesinde yaygýn þekilde kullanýlýr. Mekanik özelliklerin %95 güven düzeyinde 1. yüzdelik ve 10. yüzdelik alt güven sýnýrlarý, diðer adýyla A-Temel ve B-Temel malzeme özellikleri, güvenilirlik çalýþmalarýnda erken arýzalarý anlama ve risk azaltma için önemlidir. Bu alt sýnýrlar, deneylerin yüksek maliyetleri nedeniyle genellikle küçük örneklemlerle, dolayýsýyla düþük hassasiyet düzeyleriyle tahmin edilir. Bu nedenle literatürde daha iyi tahminler gerçekleþtirmeyi amaçlayan birçok kesin ve yaklaþýk alt sýnýr tahmin yöntemi önerilmiþtir. Bu çalýþmada kesin yöntemlerin Monte-Carlo benzetimleriyle kapsamlý bir karþýlaþtýrmasý yapýlmýþtýr. Ayrýca, Weibull parametreleri için geliþtirilen bazý yöntemler kesin alt sýnýr tahmininde kullanýlabilir olmakla birlikte literatürde bu amaçla hiç kullanýlmadýðýndan bu karþýlaþtýrma kapsamýna alýnmýþtýr. Çalýþmada alt sýnýrlar, maksimum benzerlik, Menon yöntemi ve aðýrlýklý/aðýrlýksýz en küçük kareler yöntemlerinin 25 farklý modeli (geliþtirilmiþ tahminleyiciler, deðiþtirilmiþ eksenler gibi) ile tahmin edilmiþ ve sonuçlar, ortalama yanlýþ kapsama olasýlýðý kriterine göre karþýlaþtýrýlmýþtýr. Benzetim sonuçlarýna göre, hacmi 20’den küçük örneklemlerde maksimum benzerlik ile Faucher&Tyson aðýrlýk faktörlü en küçük kareler yöntemlerinin çok benzer performansa sahip olduðu, hacmi 20 ve daha büyük örneklemlerde ise maksimum benzerlik yönteminin her zaman daha iyi olduðu gözlemlenmiþtir. Bununla birlikte, performans farklarýnýn ihmal edilebilir olduðu durumlarda hesaplama kolaylýðý açýsýndan en küçük kareler yöntemlerinin daha pratik olduðu vurgulanmýþtýr.