Pamukkale Univ Muh Bilim Derg. Ahead of Print: PAJES-87300 | DOI: 10.5505/pajes.2023.87300

Set Theory Interpretation for Exponential Approximation of Time-Ordered Integral

Ali Mert Ceylan
Department of Computer Engineering, Graduate School of Natural and Applied Sciences, Ege University, Izmir, Turkey

This introductory study suggests a formal basis for the interpretation of a continuous path in a connected matrix Lie group to be represented by the set of von Neumann ordinals which is a set-theoretical interpretation of natural numbers. In this study, it is aimed to relate the discrete recurrent structure of von Neumann ordinals to the exponential function. Since the Exponential function is fundamentally integrated into science and engineering literature this work aims to discover ties between the Exponential function and sets where, the Exponential function utilized in machine learning, loss functions; cryptography, key exchange and encryption algorithms; robotics, kinematics, trajectory planning; numerical analysis, discrete integration. Thus, the set theoretical interpretation of the exponential function has an interdisciplinary critical role. Throughout the article, necessary conjectures are postulated to interpret the rotations that form a smooth curve in terms of sets, namely von Neumann ordinals. Introduced formalizations covering Set existence axiom, unit element for set groups, interpretation of a smooth curve in terms of multiplication of exponentials, introduced a derivative operator to observe limited differentiable properties of the exponential function.

Keywords: Discrete mathematics, lie group, von Neumann ordinals, smooth curve, exponential function, derivative operator, rotation group, set theory

---

Zaman-Sýralý Ýntegralin Üstel Fonksiyon Yakýnsamasý için Küme Teorisi Yorumu

Ali Mert Ceylan
Ege Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Bilgisayar Mühendisliði Ana Bilim Dalý, Ýzmir

Bu giriþ çalýþmasý, baðlý matris Lie grubundaki sürekli bir yolun, doðal sayýlarýn küme teorik bir yorumu olan von Neumann ordinali olan kümeler ile temsil edilmesi için biçimsel bir temel önermektedir. Bu çalýþmada, von Neumann ordinallerinin ayrýk tekrarlayan yapýsýnýn üstel fonksiyon ile iliþkilendirilmesi amaçlanmýþtýr. Üstel fonksiyon temelde bilim ve mühendislik literatürüne entegre olduðundan bu çalýþma, makine öðrenimi, kayýp fonksiyonlarý; kriptografi, anahtar deðiþimi ve þifreleme algoritmalarý; robotik, kinematik, yörünge planlama; sayýsal analiz, ayrýk entegrasyon gibi alanlarda kullanýlan Üstel fonksiyon ile kümeler arasýndaki baðlarý keþfetmeyi amaçlamaktadýr. Bu nedenle, üstel fonksiyonun küme teorik yorumu disiplinler arasý kritik bir role sahiptir. Makale boyunca, düzgün bir eðri oluþturan rotasyonlarý kümeler, yani von Neumann ordinalleri açýsýndan yorumlamak için gerekli varsayýmlar öne sürülmektedir. Küme varlýðý aksiyomu, küme gruplarý için birim eleman, düzgün bir eðrinin üstellerin çarpýmý açýsýndan yorumlanmasý, üstel fonksiyonun kýsmen türevlenebilir özelliklerini gözlemlemek için bir türev operatörünün tanýmlanmasýný kapsayan formalizasyonlar tanýtýlmýþtýr.

Anahtar Kelimeler: Ayrýk matematik, Lie grubu, von Neumann ordinalleri, pürüzsüz eðri, türev operatörü, rotasyon grubu, küme teorisi

---